O desenvolvimento de tal sistema foi devido, principalmente, à necessidade de simplificação de cálculo ligado a astronomia. Através dos logaritmos, operações de multiplicação são transformadas em adição, de divisão em subtração e outras propriedades. A idéia básica de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para o uso de expoente.
O logaritmo de um número real e positivo a, na base b (diferente de 1 e positiva) é o número c ao qual se deve elevar b para se obter a.
logba = c <=> bc = a
, com a >0, b >0 e b diferente de 1.
Onde b é a base do sistema de logaritmos, a é o logaritmando ou antilogaritmo e c é o logaritmo.
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Exemplos Resolvidos
I - Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos:
log25 0,2 = 25c = 0,2 => 25c = 2/10 =>52c = 1/5 => 52c = 5 -1 ... c = -1/2
Resposta: c = -1/2
log3 81 = 3c = 81 => 3c = 34... c = 4
Resposta: c = 4
log5 0,000064 = 5c = 0,000064 => 5c = 64/1000000 => 5c = 26/106 => 5c = (2/10)6 =>
=> 5c = (1/5)6 => 5c = 5-1 . 6...c = - 6
Resposta: c = - 6
ln e3 = logee3=c => ec = e3 ... c = 3
Resposta: c = 3
II - Outros Exemplos:
1. log28 = 3 porque 23 = 8 6. log 100000 = 5 porque 105 = 100000
2. log71 = 0 porque 70 = 1 7. log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2
3. log39 = 2 porque 32 = 9 8. log5 = 0,06990 porque 100,06990 = 5
4. log55 = 1 porque 51 = 5 9. ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183...
5. log31/9 =-2 porque 3-2=1/9 10. log2/3 =-0,1761 porque 10-0,1761 = 2/3
Observação: Quando a base não for especificada, sabemos que ela é igual a 10.
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Propriedades Decorrentes da Definição
P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:
logb1 = 0 porque b0 = 1.
P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logbb = 1 , porque b1 = b.
P3) logbbx = x , porque bx = bx .
P4) Dois logaritmos em uma mesma base são iguais se, e somente se, os logaritmandos são iguais. Esta propriedade é muito utilizada na resolução de equações logarítmicas.
Se logba = logbc então podemos concluir que a = c.
P5) A potência de base a e expoente loga b é igual a b.
blogba = a.
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Propriedades Operatórias dos Logaritmos
P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO
O logaritmo de um produto de dois fatores reais é igual a soma dos logaritmos dos fatores:
logb(c.b) = logbc + logbc
Exemplo: log 200 =log (2.100) = log 2 + log 100 = 0,3010 + 2 = 2,3010
P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE
O logaritmo do quociente de dois números reais positivos é igual a diferença entre os logaritmo do numerador da fração e logaritmo do denominador:
logb(a/c) = logba - logbc
Exemplo: log 0,02 = log(2/100) = log 2 - log 100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990
COLOGARITMO - Chamamos de cologaritmo de um número positivo b, numa base a, ao oposto do logaritmo de b na base a:
cologab = loga(1/b) = loga1 - logab = 0 - logab = - logab
Exemplo: colog10 = -log10 = -1.
P3 - LOGARITMO DE UMA POTÊNCIA
O logaritmo de uma potência de base real positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência: logabk = k.logab.
Exemplo: log5256 = 6.log525 = 6.2 = 12
Mudança de Base - Há ocasiões em que logaritmos em bases diferentes precisam ser convertidos para uma única base conveniente. Na aplicação das propriedades operatórias, os logaritmos devem estar todos na mesma base. Agora vamos ver o processo que permite converter o logaritmo de um número positivo, em uma certa base, para outro em base conveniente.
P4 - MUDANÇA DE BASE
logab =logcb / logca "ou" logab = logc b . logac
Exemplo: log3 7 convertido para a base 2 fica assim; log37 = log27 / log23
Consequências:
loga b = 1 / logba
logax b = (1 / x).loga b
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Exercícios
Calcule, pela definição, os logaritmos abaixo: 1-) log41/32 7-) log21/8
2-) log12525 8-) log0,0010,1
3-) log0,258 9-) antilog34
4-) log2781 10-) antilog161/2
5-) log1/28 11-) log100 - log1,54/9 + antilog3-2
6-) log91/27 12-) log821/2 + 3log332 - 32-log36
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